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#include <boost/math/distributions/cauchy.hpp>

template <class RealType = double,
          class Policy   = policies::policy<> >
class cauchy_distribution;

typedef cauchy_distribution<> cauchy;

template <class RealType, class Policy>
class cauchy_distribution
{
public:
   typedef RealType  value_type;
   typedef Policy    policy_type;

   BOOST_MATH_GPU_ENABLED cauchy_distribution(RealType location = 0, RealType scale = 1);

   BOOST_MATH_GPU_ENABLED RealType location()const;
   BOOST_MATH_GPU_ENABLED RealType scale()const;
};

柯西-洛伦兹分布以奥古斯丁·柯西和亨德里克·洛伦兹的名字命名。它是一个连续概率分布，其概率密度函数 (PDF) 由下式给出：

位置参数 x₀ 是分布峰值的位置（分布的众数），而尺度参数 γ 指定 PDF 在最大高度一半处的半宽度。如果位置为零，尺度为 1，则结果为标准柯西分布。

该分布在物理学中很重要，因为它是描述受迫共振的微分方程的解，而在光谱学中，它是谱线线形的描述。

下图显示了分布如何随位置参数变化而移动

下图显示了形状（尺度）参数如何改变分布

成员函数

BOOST_MATH_GPU_ENABLED cauchy_distribution(RealType location = 0, RealType scale = 1);

构造一个柯西分布，其位置参数为 location，尺度参数为 scale。当这些参数取默认值（location = 0，scale = 1）时，结果为标准柯西分布。

要求 scale > 0，否则调用 domain_error。

BOOST_MATH_GPU_ENABLED RealType location()const;

返回分布的位置参数。

BOOST_MATH_GPU_ENABLED RealType scale()const;

返回分布的尺度参数。

非成员访问器

支持所有分布通用的常用非成员访问器函数：累积分布函数、概率密度函数、分位数、风险函数、累积风险函数、__logcdf、__logpdf、均值、中位数、众数、方差、标准差、偏度、峰度、超额峰度、范围 和 支持。对于此分布，所有非成员访问器函数都标有 BOOST_MATH_GPU_ENABLED，并且可以在主机和设备上运行。

但请注意，柯西分布没有均值、标准差等。请参阅 数学上未定义的函数，以控制这些函数是否应因 BOOST_STATIC_ASSERTION_FAILURE 而编译失败，这是默认行为。

或者，如果调用 均值、标准差、方差、偏度、峰度 和 超额峰度 函数，它们都将返回 domain_error。

随机变量的域是 [-[max_value], +[min_value]]。

精度

柯西分布是根据标准库 tan 和 atan 函数实现的，因此应该具有非常低的错误率。

实现

在下表中，x₀ 是分布的位置参数，γ 是其尺度参数，x 是随机变量，p 是概率，q = 1-p。

参考