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#include <boost/math/distributions/geometric.hpp>

namespace boost{ namespace math{

template <class RealType = double,
          class Policy   = policies::policy<> >
class geometric_distribution;

typedef geometric_distribution<> geometric;

template <class RealType, class Policy>
class geometric_distribution
{
public:
   typedef RealType value_type;
   typedef Policy   policy_type;
   // Constructor from success_fraction:
   BOOST_MATH_GPU_ENABLED geometric_distribution(RealType p);

   // Parameter accessors:
   BOOST_MATH_GPU_ENABLED RealType success_fraction() const;
   BOOST_MATH_GPU_ENABLED RealType successes() const;

   // Bounds on success fraction:
   BOOST_MATH_GPU_ENABLED static RealType find_lower_bound_on_p(
      RealType trials,
      RealType successes,
      RealType probability); // alpha
   BOOST_MATH_GPU_ENABLED static RealType find_upper_bound_on_p(
      RealType trials,
      RealType successes,
      RealType probability); // alpha

   // Estimate min/max number of trials:
   BOOST_MATH_GPU_ENABLED static RealType find_minimum_number_of_trials(
      RealType k,     // Number of failures.
      RealType p,     // Success fraction.
      RealType probability); // Probability threshold alpha.
   BOOST_MATH_GPU_ENABLED static RealType find_maximum_number_of_trials(
      RealType k,     // Number of failures.
      RealType p,     // Success fraction.
      RealType probability); // Probability threshold alpha.
};

}} // namespaces

类类型 geometric_distribution 表示 几何分布：它用于当 伯努利试验 恰好有两个互斥的结果时：这些结果被标记为“成功”和“失败”。

对于 伯努利试验，每次试验的成功概率为 p，几何分布给出了在第一次成功之前观察到 k 次试验（失败、事件、发生或到达）的概率。

	注意
	对于此实现，试验集合包括零（不同于另一个定义，其中试验集合从一开始，有时称为shifted）。

几何分布假设成功概率 p 对于所有 k 次试验都是固定的。

在第一次成功之前有 k 次失败的概率

例如，当投掷一个 6 面骰子时，成功概率 p = 1/6 = 0.1666 ̇。重复投掷直到出现 three，不是三 的次数的概率分布是几何分布。

几何分布具有概率密度函数 PDF

下图说明了对于成功概率 p 的三个示例，PDF 和 CDF 如何变化（当将几何分布视为连续函数时），

以及离散的情况。

相关分布

几何分布是 负二项分布 的一个特例，其成功参数为 r = 1，因此只需要一个第一次也是唯一的成功：因此根据定义    geometric(p) == negative_binomial(1, p)

negative_binomial_distribution(RealType r, RealType success_fraction);
negative_binomial nb(1, success_fraction);
geometric g(success_fraction);
ASSERT(pdf(nb, 1) == pdf(g, 1));

此实现始终使用实数进行计算（因为它使用了实值幂函数和指数函数）。因此，要获得传统的严格离散几何分布，您必须确保为试验次数（随机变量）k 提供整数值，并从返回成功次数的函数中获取整数值（向下取整或向上取整函数）。

	注意
	几何分布是离散分布：在内部，像 cdf 和 pdf 这样的函数被“视为”连续函数，但实际上，只有当为随机变量参数提供整数值时，从这些函数返回的结果才有意义。 分位数函数默认情况下将返回一个已向外舍入的整数结果。也就是说，较低的分位数（概率小于 0.5）向下舍入，而较高的分位数（概率大于 0.5）向上舍入。此行为确保如果请求 X% 分位数，则中心区域中将存在至少所需的覆盖率，并且尾部中将存在不超过所需的覆盖率。 可以更改此行为，以便分位数函数以不同的方式舍入，甚至可以使用 策略 返回实值结果。强烈建议您在使用几何分布的分位数函数之前阅读教程 理解离散分布的分位数。参考文档 描述了如何更改这些分布的舍入策略。

成员函数

构造函数

geometric_distribution(RealType p);

构造函数：p 或 success_fraction 是单次试验成功的概率。

要求：0 <= p <= 1。

访问器

RealType success_fraction() const; // successes / trials (0 <= p <= 1)

返回从中构造此分布的 success_fraction 参数 p。

RealType successes() const; // required successes always one,
// included for compatibility with negative binomial distribution
// with successes r == 1.

返回 unity。

以下函数等效于为负二项式提供的函数，其中 successes = 1，但此处提供这些函数是为了完整性。

以下函数的最佳计算方法存在争议：有关更多讨论，请参见 二项分布 和 负二项分布。

成功概率参数 p 的下限

static RealType find_lower_bound_on_p(
  RealType failures,
  RealType probability) // (0 <= alpha <= 1), 0.05 equivalent to 95% confidence.

返回成功概率的下限

例如，如果您从 n 次试验中观察到 k 次失败，则成功概率的最佳估计值仅为 1/n，但是如果您想 95% 确定真实值大于某个值 p_min，则

pmin = geometric_distribution<RealType>::
   find_lower_bound_on_p(failures, 0.05);

请参阅负二项式置信区间示例。

此函数使用 Clopper-Pearson 方法计算成功概率的下限，虽然许多文本将此方法称为给出“精确”结果，但实际上它产生的区间保证至少所需的覆盖率，并且对于某些 failures 和 successes 的组合可能会产生悲观的估计。请参阅

Yong Cai 和 K. Krishnamoorthy，《一些离散分布的简单改进的推论方法》。计算统计和数据分析，2005 年，第 48 卷，第 3 期，605-621.

成功概率参数 p 的上限

static RealType find_upper_bound_on_p(
   RealType trials,
   RealType alpha); // (0 <= alpha <= 1), 0.05 equivalent to 95% confidence.

返回成功概率的上限

例如，如果您从 n 次试验中观察到 k 次成功，则成功概率的最佳估计值仅为 k/n，但是如果您想 95% 确定真实值小于某个值 p_max，则

pmax = geometric_distribution<RealType>::find_upper_bound_on_p(
                    k, 0.05);

请参阅负二项式置信区间示例。

此函数使用 Clopper-Pearson 方法计算成功概率的下限，虽然许多文本将此方法称为给出“精确”结果，但实际上它产生的区间保证至少所需的覆盖率，并且对于某些 failures 和 successes 的组合可能会产生悲观的估计。请参阅

Yong Cai 和 K. Krishnamoorthy，《一些离散分布的简单改进的推论方法》。计算统计和数据分析，2005 年，第 48 卷，第 3 期，605-621.

估计确保至少一定数量失败的试验次数

static RealType find_minimum_number_of_trials(
   RealType k,     // number of failures.
   RealType p,     // success fraction.
   RealType alpha); // probability threshold (0.05 equivalent to 95%).

此函数估计达到一定概率所需的试验次数，该概率表示 将观察到超过 k 次失败。

例如

geometric_distribution<RealType>::find_minimum_number_of_trials(10, 0.5, 0.05);

返回我们必须进行的最小试验次数，以 95% (1-0.05) 的把握看到 10 次失败，这些失败以二分之一的频率发生。

工作示例。

此函数使用几何分布的数值反演来获得结果：结果的另一种解释是，它找到将导致观察到 k 次或更少失败的 alpha 概率的试验（失败）次数。

估计确保最多一定数量失败或更少的试验次数

static RealType find_maximum_number_of_trials(
   RealType k,     // number of failures.
   RealType p,     // success fraction.
   RealType alpha); // probability threshold (0.05 equivalent to 95%).

此函数估计我们可以进行的最大试验次数，并达到一定概率，该概率表示 将观察到 k 次或更少失败。

例如

geometric_distribution<RealType>::find_maximum_number_of_trials(0, 1.0-1.0/1000000, 0.05);

返回我们可以进行的最大试验次数，并且仍然有 95% 的把握看到没有失败，这些失败以百万分之一的频率发生。

此函数使用几何分布的数值反演来获得结果：结果的另一种解释是，它找到将导致观察到超过 k 次失败的 alpha 概率的试验次数。

非成员访问器

支持所有分布通用的常用非成员访问器函数：累积分布函数、概率密度函数、分位数、风险函数、累积风险函数、__logcdf、__logpdf、均值、中位数、众数、方差、标准差、偏度、峰度、超额峰度、范围 和 支持。对于此分布，所有非成员访问器函数都标记有 BOOST_MATH_GPU_ENABLED，并且可以在主机和设备上运行。

但是，值得花一些时间来定义这些在当前分布的上下文中实际意味着什么

pdf(geometric(p), k)

cdf(geometric(p), k)

cdf(complement(geometric(p), k))

quantile(geometric(p), P)

quantile(complement(geometric(p), P))

在此分布中，logcdf 的实现经过专门设计，以提高数值精度。

精度

此分布是使用 pow 和 exp 函数实现的，因此大多数结果在 RealType 的几个 epsilon 内都是准确的。对于 double p 的极端值（例如 0.9999999999），精度可能会显着下降，例如降至 10 位十进制数字（从 16 位）。

实现

在下表中，p 是任何一次试验成功的概率（成功概率），k 是失败次数，p 是概率，q = 1-p，x 是给定的概率，用于使用分位数估计预期失败次数。