本节提供数值转换库中使用术语的定义。

如 C++ 对象模型 (§1.7) 所定义，C++ 程序运行的存储或内存是 字节 的连续序列，其中每个字节是位的连续序列。

对象 是存储区 (§1.8) 的一个区域，并具有一个类型 (§3.9)。

类型 是值的离散集合。

类型为 T 的对象具有一个 对象表示，它是在对象中存储的字节序列 (§3.9/4)

类型为 T 的对象具有一个 值表示，它是由确定该类型对象 值 的位集 (§3.9/4)。对于 POD 类型 (§3.9/10)，此位集由对象表示给出，但存储中的并非所有位都需要参与值表示（字符类型除外）：例如，一些位可能用于填充或可能存在陷阱位。

由对象持有的 类型化值 是由其值表示决定的值。

抽象值（无类型）是表示在类型中的概念信息（即数字 π）。

对象的 固有值 是形成其对象表示的无符号字符序列的二进制值。

抽象 值可以在给定类型中 表示。

在类型 T 中 表示 抽象值 V 是获取与抽象值 V 对应的类型化值 v。

此操作使用 rep() 运算符表示，如：v=rep(V)。 v 是 V 在类型 T 中的 表示。

例如，抽象值 π 可以用类型 double 表示为 double value M_PI，用类型 int 表示为 int value 3

相反，类型化值 可以 抽象。

要 抽象 类型为 T 的类型化值 v，就是要获取其在 T 中的表示为 v 的抽象值 V。

此操作使用 abt() 运算符表示，如：V=abt(v)。

V 是 v 在类型 T 中的 抽象。

抽象只是一个抽象操作（你无法执行它）；但它仍然被定义，因为它将用于给出本文档其余部分的定义。

C++ 语言定义了 基本类型 (§3.9.1)。以下基本类型的子集旨在表示 数字

整型要求具有 二进制 值表示。

此外，相同基类型（short、int 或 long）的有符号/无符号整型要求具有相同的值表示，即

         int i = -3 ; // suppose value representation is: 10011 (sign bit + 4 magnitude bits)
unsigned int u =  i ; // u is required to have the same 10011 as its value representation.

换句话说，整型有符号/无符号 X 使用相同的值表示，但对其的 解释 不同；即它们的 类型化值 可能不同。

另一个结果是，有符号 X 的范围始终是无符号 X 范围的较小子集，如 §3.9.1/3 所要求。

	注意
	始终记住，与有符号类型不同，无符号类型具有模运算；也就是说，它们不会溢出。这意味着 - 在混合有符号/无符号类型时要格外小心 - 仅在需要模运算或非常大的数字时使用无符号类型。不要仅仅因为打算只处理正值就使用无符号类型（你也可以使用有符号类型来做到这一点）。

本节介绍以下定义，旨在将算术类型与行为类似于数字的用户定义类型集成。一些定义故意很宽泛，以便包括各种各样的用户定义数字类型。

在本库中，术语 数字 指的是抽象数值。

如果类型为 数值，则

如果数值类型表示的抽象值包含负数，则该类型为 有符号。

如果数值类型表示的抽象值不包含负数，则该类型为 无符号。

如果数值类型具有模运算（不会溢出），则该类型为 模运算。

如果数值类型表示的抽象值为整数，则该类型为 整型。

如果数值类型表示的抽象值为实数，则该类型为 浮点型。

算术值 是算术类型的类型化值

数值 是数值类型的类型化值

这些定义只是通过引入一个称为 数值 的超集来概括算术类型和值的标准概念。所有算术类型和值都是数值类型和值，但反之则不然，因为用户定义的数值类型不是算术类型。

以下示例阐明了算术类型和数值类型（以及值）之间的区别

// A numeric type which is not an arithmetic type (is user-defined)
// and which is intended to represent integer numbers (i.e., an 'integer' numeric type)
class MyInt
{
    MyInt ( long long v ) ;
    long long to_builtin();
} ;
namespace std {
template<> numeric_limits<MyInt> { ... } ;
}

// A 'floating' numeric type (double) which is also an arithmetic type (built-in),
// with a float numeric value.
double pi = M_PI ;

// A 'floating' numeric type with a whole numeric value.
// NOTE: numeric values are typed valued, hence, they are, for instance,
// integer or floating, despite the value itself being whole or including
// a fractional part.
double two = 2.0 ;

// An integer numeric type with an integer numeric value.
MyInt i(1234);

给定一个数字集 N，它的一些元素可以在数值类型 T 中表示。

类型 T 的可表示值集，或 T 的数值集，是一个数值集，其元素是 N 的某个子集的表示。

例如，int 值的区间 [INT_MIN,INT_MAX] 是 int 类型可表示值的集合，即 int 数字集，对应于抽象值的区间 [abt(INT_MIN),abt(INT_MAX)] 中元素的表示。

类似地，double 值的区间 [-DBL_MAX,DBL_MAX] 是 double 数字集，对应于从 abt(-DBL_MAX) 到 abt(DBL_MAX) 的实数子集。

令 next(x) 表示大于 x 的最小数值。

令 prev(x) 表示小于 x 的最大数值。

令 v=prev(next(V)) 和 v=next(prev(V)) 是将数值类型的值 v 与数字 V 联系起来的恒等式。

如果数值对 x，y 满足 x<y，那么当且仅当 next(x)==y 时，它们是 相邻的。

相邻数值之间的抽象距离通常称为 最后一位单位，简称 ulp。ulp 是一种数量，其抽象大小相对于它所对应的数值：如果数值集不是均匀分布的，也就是说，如果相邻数值之间的抽象距离在集合中变化 - 就像浮点数类型一样 -，那么数值 x 之后的 1ulp 的大小可能（通常是）与数值 y 之后的 1ulp 的大小不同，其中 x!=y。

由于数字本质上是有序的，因此 T 类型的 数字集 是数值（T 类型）的顺序序列，形式为

REP(T)={l,next(l),next(next(l)),...,prev(prev(h)),prev(h),h}

其中 l 和 h 分别是 T 类型的最小值和最大值，称为 T 类型的边界值。

数字集是离散的。它有一个 大小，即集合中数值的个数，一个 宽度，即最高和最低边界值之间的抽象差值：[abt(h)-abt(l)]，以及一个 密度，即其大小和宽度之间的关系：density=size/width。

整数类型具有密度 1，这意味着在 abt(l) 和 abt(h) 之间没有不可表示的整数（即没有间隙）。另一方面，浮点类型具有远小于 1 的密度，这意味着在相邻的浮点值之间存在未表示的实数（即存在间隙）。

抽象值 的区间 [abt(l),abt(h)] 是 T 类型的范围，记为 R(T)。

范围是一组抽象值，而不是一组数值。在其他文档中，例如 C++ 标准中，词语 range 有时用作 numeric set 的同义词，即从 l 到 h 的数值的有序序列。但是，在本文件中，范围是一个抽象的区间，它包含了数字集。

例如，序列 [-DBL_MAX,DBL_MAX] 是 double 类型的数字集，而实数区间 [abt(-DBL_MAX),abt(DBL_MAX)] 是它的范围。

注意，例如，浮点数类型的范围是 连续的，与它的数字集不同。

选择此定义是因为

此定义允许对 subranged 进行简洁的定义，如上一节所述。

如定义的那样，数字集的宽度与范围的宽度完全相同。

类型的 精度 由数字集的宽度或密度给出。

对于密度为 1 的整数类型，精度在概念上等效于范围，并由值表示中使用的位数决定：位数越多，数字集的大小越大，范围越广，精度越高。

对于密度 <<1 的浮点类型，精度不是由范围的宽度决定的，而是由密度决定的。在典型的实现中，范围由指数中使用的位数决定，精度由尾数中使用的位数决定（给出可以精确表示的最大有效位数）。指数位数越多，范围越广，而尾数位数越多，精度越高。

给定一个抽象值 V 和一个类型 T 以及它对应的范围 [abt(l),abt(h)]

如果 V < abt(l) 或 V > abt(h)，则 V 在类型 T 中 不可表示（不能表示），或者等效地，它在类型 T 中的表示 超出范围，或者 溢出。

如果 V >= abt(l) 且 V <= abt(h)，则 V 在类型 T 中 可表示（可以表示），或者等效地，它在类型 T 中的表示 在范围内，或者 不会溢出。

注意，数值类型，例如 C++ 无符号类型，可以定义任何 V 不会溢出，方法是始终表示的不是 V 本身，而是抽象值 U = [ V % (abt(h)+1) ]，它始终在范围内。

给定一个在类型 T 中表示为 v 的抽象值 V，表示的 舍入误差 是抽象差值：(abt(v)-V)。

注意，表示是一个 操作，因此，舍入误差对应于表示操作，而不是数值本身（即数值本身没有任何误差）

如果类型为 T 的表示 v -无论它是精确的还是不精确的- 是该类型中 V 的相邻值之一，也就是说，如果 v==prev 或 v==next，则表示是忠实舍入的。如果 prev 和 next 之间的选择与给定的 舍入方向 相匹配，则它是 正确舍入 的。

所有精确表示都是正确舍入的，但并非所有不精确表示都是。特别是，C++ 要求数值转换（在下面描述）和算术运算的结果（本文件未涵盖）为正确舍入，但批处理操作会传播舍入误差，因此最终结果通常是错误舍入的，也就是说，计算结果的数值 r 既不是抽象值的相邻值之一，而抽象值 R 是理论结果。

因为正确舍入的表示总是被表示的抽象值的相邻值之一，所以舍入误差保证最多为 1ulp。

以下示例总结了给定的定义。考虑

首先，注意类型 Real 和 Whole 都表示实数，具有相同的范围，但精度不同。

C++ 语言定义了 标准转换 (§4)，其中一些是在算术类型之间进行转换。

这些是 整数提升 (§4.5)、整数转换 (§4.7)、浮点提升 (§4.6)、浮点转换 (§4.8) 和 浮点整数转换 (§4.9)。

在下文中，整数提升和浮点提升被称为 算术提升，这些提升以及整数、浮点和浮点整数转换被称为 算术转换（即提升是转换）。

提升，无论是整数还是浮点，都是 值保持 的，这意味着类型值在转换后不会改变。

在下文中，考虑源类型为 S 的源类型值为 s，源抽象值为 N=abt(s)，目标类型为 T；以及在可能的情况下，目标类型值为 t 的类型为 T。

整数到整数的转换总是定义的

浮点到浮点的转换仅在 N 可表示时定义；如果不可表示，则转换具有 未定义行为。

浮点到整数的转换不表示 N，而是表示 M=trunc(N)，其中 trunc() 是截断：即删除小数部分，如果有的话。

整数到浮点的转换总是定义的。

给定一个源类型 S 和一个目标类型 T，有一个 转换方向，记为：S->T。

对于任何两个范围，可以定义以下 范围关系：一个范围 X 可以 完全包含 在一个范围 Y 中，在这种情况下，就说 X 被 Y 包含。

如果源类型范围 R(S) 未包含在目标类型范围 R(T) 中；也就是说，如果 (R(S) & R(T) ) != R(S)，则称转换方向为 子范围，这意味着 R(S) 未完全包含在 R(T) 中，因此源范围的一部分落在目标范围之外。换句话说，如果转换方向 S->T 是子范围的，则 S 中存在一些值无法在 T 中表示，因为它们超出了范围。请注意，对于 S->T，子范围形容词适用于 T。

示例

假设以下所有表示实数的数字类型

对于

有可能 R(S) 未包含在 R(T) 中，而 R(T) 也不包含在 R(S) 中；例如，UNSIG=[0,255] 未包含在 SIG=[-128,127] 中；SIG 也不包含在 UNSIG 中。这意味着转换方向可能在两种方向上都是子范围的。当涉及到有符号/无符号类型的混合时，就会出现这种情况，这表明在两种方向上都存在可能超出范围的值。

给定转换方向 S->T 的范围关系（子范围或不是子范围），可以将 S 和 T 分别归类为 超类型 和 子类型：如果转换是子范围的，这意味着 T 无法表示所有可能的类型为 S 的值，则 S 是超类型，T 是子类型；否则，T 是超类型，S 是子类型。

例如

如果 FLT_MAX < DBL_MAX

请注意，虽然 double->float 是子范围的，float->double 不是，这使得这两个方向具有相同的超类型和子类型。

现在考虑

C++ 实现需要满足 UINT_MAX > INT_MAX (§3.9/3)，因此

在这种情况下，转换在两个方向上都是子范围的，并且超类型和子类型对不是不变的（在方向反转下）。这表明两种类型都不能表示彼此的所有值。

当 S->T 和 T->S 的超类型相同时，它实际上表明了一种能够表示子类型所有值的类型。因此，如果转换 X->Y 不是子范围的，而相反方向 (Y->X) 是，这样超类型始终为 Y，则称方向 X->Y 为 正确舍入值保留，意味着所有此类转换都保证产生范围内的结果，并且正确舍入（即使不精确）。例如，所有整数到浮点数的转换都是正确舍入值保留的。