Boost C++ 库

#include <boost/math/distributions/inverse_chi_squared.hpp>

namespace boost{ namespace math{

template <class RealType = double,
          class Policy   = policies::policy<> >
class inverse_chi_squared_distribution
{
public:
   typedef RealType value_type;
   typedef Policy   policy_type;

   BOOST_MATH_GPU_ENABLED inverse_chi_squared_distribution(RealType df = 1); // Not explicitly scaled, default 1/df.
   BOOST_MATH_GPU_ENABLED inverse_chi_squared_distribution(RealType df, RealType scale = 1/df);  // Scaled.

   BOOST_MATH_GPU_ENABLED RealType degrees_of_freedom()const; // Default 1.
   BOOST_MATH_GPU_ENABLED RealType scale()const; // Optional scale [xi] (variance), default 1/degrees_of_freedom.
};

}} // namespace boost // namespace math

逆卡方分布是一个连续概率分布，它表示服从卡方分布的变量的倒数。

以下来源给出了令人困惑的不同公式，使用了不同的符号来表示分布的概率密度函数 (pdf)，但它们都是相同的，或者通过变量的更改或尺度的选择而相关。

提供了两个构造函数来实现缩放版本和（隐式）未缩放版本。

主要版本具有显式的尺度参数，它实现了缩放逆卡方分布。

第二个版本具有隐式尺度 = 1/自由度，并给出了维基百科逆卡方分布中的第一个定义。第二个维基百科逆卡方分布定义可以通过显式指定尺度 = 1 来实现。

这两个定义在Wolfram Mathematica 和 R 统计计算项目 (geoR) 中也可用，默认尺度 = 1/自由度。

参见

逆卡方分布用于贝叶斯统计：缩放逆卡方分布是均值已知，模型参数 σ² (方差) 的正态分布的共轭先验分布。

参见 共轭先验分布，包括分布及其先验分布的表格。

另请参见 逆伽玛分布 和 卡方分布。

逆卡方分布是逆伽玛分布的特例，其中 ν (自由度) 为形状 (α)，尺度 (β) 为：

	注意
	此分布确实提供了 typedef typedef inverse_chi_squared_distribution<double> inverse_chi_squared; 如果您想要 double 精度逆卡方分布，您可以使用 boost::math::inverse_chi_squared_distribution<> 或者您可以编写 inverse_chi_squared my_invchisqr(2, 3);

对于自由度参数 ν，(未缩放) 逆卡方分布由概率密度函数 (PDF) 定义：

和累积密度函数 (CDF)：

对于自由度参数 ν 和尺度参数 ξ，缩放逆卡方分布由概率密度函数 (PDF) 定义：

和累积密度函数 (CDF)：

以下图表说明了逆卡方分布的 PDF 和 CDF 如何随参数 ν 和 ξ 的几个值而变化

成员函数

BOOST_MATH_GPU_ENABLED inverse_chi_squared_distribution(RealType df = 1); // Implicitly scaled 1/df.
BOOST_MATH_GPU_ENABLED inverse_chi_squared_distribution(RealType df = 1, RealType scale); // Explicitly scaled.

构造具有 ν 自由度 df 和尺度 scale 的逆卡方分布，默认值为 1/df。

要求自由度 ν 参数大于零，否则调用 domain_error。

BOOST_MATH_GPU_ENABLED RealType degrees_of_freedom()const;

返回此分布的 degrees_of_freedom ν 参数。

BOOST_MATH_GPU_ENABLED RealType scale()const;

返回此分布的 scale ξ 参数。

非成员访问器

支持所有分布通用的常用非成员访问器函数：累积分布函数, 概率密度函数, 分位数, 风险函数, 累积风险函数, __logcdf, __logpdf, 均值, 中位数, 众数, 方差, 标准差, 偏度, 峰度, 超额峰度, 范围 和 支持。 对于此分布，所有非成员访问器函数都标记为 BOOST_MATH_GPU_ENABLED，并且可以在主机和设备上运行。

随机变量的域是 [0,+∞]。

	注意
	与某些定义不同，此实现支持随机变量等于零作为特殊情况，对于 pdf 和 cdf 都返回零。

精度

逆伽玛分布是根据不完全伽玛函数实现的，例如 逆伽玛分布，它使用 gamma_p 和 gamma_q 及其反函数 gamma_p_inv 和 gamma_q_inv：有关更多信息，请参阅这些函数的精度数据。 但总的来说，伽玛（以及因此的逆伽玛）结果通常精确到几个 epsilon，对于 64 位双精度浮点数，精度 > 14 位十进制数字。 除非涉及迭代，例如自由度的估计。

实现

在下表中，ν 是自由度参数，ξ 是分布的尺度参数，x 是随机变量，p 是概率，q = 1-p 是其补数。 参数 α 表示形状，β 表示尺度，用于逆伽玛函数：α = ν/2 且 β = ν * ξ/2。

参考文献